数学、物理学、量子力学

微分積分
フーリエ解析
量子力学
1. 弦の振動モデル
2. YouTubeで量子力学を学ぶ
References

微分積分

テクニックを覚えておく

部分積分

フーリエ解析

複雑な関数を正弦波と余弦波に分解する操作。扱いやすい波で表すことでうれしいことが多い

フーリエ級数展開

周期的な関数を正弦波と余弦波の重ね合わせで表すこと。元々は熱伝導方程式を解くことが目的だったがさまざまな分野に応用される。フーリエ級数で表すことをフーリエ級数展開するという

*関数が無限回微分可能な場合はマクローリン展開した

任意の関数が正弦波と余弦波の線型結合だと仮定し sin(nx) や cos(nx) を掛けて積分すると、三角関数の 直交性 を利用して係数を表現できる。正弦波と余弦波の積を2πの区間で積分すると 0、π、2πのいずれかの値をとる。このことは 積和公式 を使って計算でき、積和公式は三角関数の 加法定理 から導出できる。

また、複素数を使うとフーリエ級数はシンプルに書ける。

フーリエ変換

フーリエ級数は周期的な関数に限ったものだったが、周期を無限にすることで非周期関数にも適用できる（数学的に雑な説明）

フーリエ変換の応用

フーリエ変換を使うと偏微分方程式の解を求めることができる。

フーリエ変換すると微分は変数による掛け算で表せる。したがって、解ではなく解のフーリエ変換なら簡単に求めることができる。これがわかればフーリエ逆変換することでもともと求めたかった解がわかる

量子力学

ホイヘンス「光は波動」
ニュートン「光は粒子」
ヤング「二重スリット実験やったら光は波だった」
マクスウェル「マクスウェル方程式的に考えて光は電磁波の伝播。やっぱり波」
アインシュタイン「光電効果わかった。光子」
ド・ブロイ「光子は波だったし、物質全部波動性あるんじゃね？」

波だと思っていたものが粒子性を持ってたから、粒子も波動性を持ってるんじゃね？となった。
粒子が物質波として振る舞う時の波長をド・ブロイ波長といって

λ = h / p （h: プランク定数、p: 運動量）

身の回りの物体を考えるときは、質量の大きさ的にド・ブロイ波長が極小になって波動性は認識できない（波動性はあるものの）。電子くらい小さいものだと認識できる。実際、電子のド・ブロイ波長を計算するとX線の波長と同じくらいになる。そこで、結晶にX線を当てたときにラウエ斑点が得られたのと同じ結果が得られるか実験して、実際にラウエ斑点が確認された。つまり、粒子だと思われていた電子に波動性があることが証明された。

ミクロの世界では粒子性と波動性が両立する。今までの物理法則では記述できないこの二重性を記述するために量子力学がはじまる