微分方程式を解けるようになるまで

最近、微分方程式の解法を復習しているのでメモ。

ロードマップ

初等関数（x^n, e^x, logx, sinx, cosx,…）の微分積分の方法は知っておく。

線形か非線形か – 微分項同士の掛け算が含まれていなければ線形、含まれていれば非線形な微分方程式。
n階微分方程式 – 微分されている回数を「階」と表現する。項の中で一番大きい階数がその微分方程式の階数である。
同次か非同次か – xについて解く微分方程式であれば、xに関係ない項がなければ同次、あれば非同次微分方程式。また、斉次・非斉次と表現される場合も同次・非同次と同じことを指している。

上記の分類によって難易度が変わってくる。非線形微分方程式は振る舞いが複雑なのでパス。また、力学などのモデルの多くは三階以上の微分方程式は滅多に登場しない。つまり、二階線形微分方程式が解ければ良さそうである。

そして、非同次微分方程式の一般解は、「同次微分方程式の一般解」と「非同次微分方程式の特殊解」とで求めることができる

項をうまいこと分割できて、それぞれ積分することで、微分を含まないようにする計算方法を変数分離という。0で割らないように場合分けを行って、0の場合も解に含まれることを後から述べる形が多い

任意定数Cを x の関数 C(x) であると仮定して元の式に代入する方法。

まずは一般解を y=e^λx と仮定する。この解を元の方程式に代入すると、e^λx ≠ 0 であることから λ に関する方程式（特性方程式）が得られる。特性方程式の解によって場合分けが発生する

重ね合わせの原理によって y = A * e^λ1x + B * e^λ2x が一般解となる

定数変化法を使うと y = A * e^λ1x + B * xe^λ2x であることが分かる（二項目にxが増えた）

特性方程式の解を λ1, λ2 とすると、基本解は e^(α+iβ)x　と e^(α-iβ)x である。式変形すると e^αx(cosβx + isinβx)　と e^αx(cosβx - isinβx) が基本解であることが分かる

y = A e^αx cosβx + B e^αx sinβx が一般解になる。